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`!ARCH-Modelle`! (ARCH, `F33f`_`[Akronym`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Akronym]`_`f für: `*`!A`!uto`!R`!egressive `!C`!onditional `!H`!eteroscedasticity`*, `F33f`_`[deutsch`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Deutsche_Sprache]`_`f `*autoregressive bedingte `F33f`_`[Heteroskedastizität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Heteroskedastizität]`_`f`*) bzw. `!autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle`! sind `F33f`_`[stochastische`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stochastik]`_`f Modelle zur `F33f`_`[Zeitreihenanalyse`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zeitreihenanalyse]`_`f, mit deren Hilfe insbesondere `F33f`_`[finanzmathematische`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Finanzmathematik]`_`f Zeitreihen mit nicht konstanter `F33f`_`[Volatilität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Volatilität]`_`f beschrieben werden können. Sie gehen von der Annahme aus, dass die `F33f`_`[bedingte Varianz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bedingte_Varianz]`_`f der zufälligen `F33f`_`[Modellfehler`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Modellfehler]`_`f abhängig ist vom realisierten Zufallsfehler der Vorperiode, so dass große und kleine Fehler dazu tendieren, in Gruppen aufzutreten. ARCH-Modelle wurden von `F33f`_`[Robert F. Engle`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Robert_F._Engle]`_`f in den 1980er Jahren entwickelt. Im Jahr 2003 wurde ihm dafür der `F33f`_`[Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Nobelpreis_für_Wirtschaftswissenschaften]`_`f verliehen.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Verallgemeinerungen`#verallgemeinerungen]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Definition

Eine Zeitreihe ( x t ) t ∈ ∈ Z {\\displaystyle (x_{t})_{t\\in \\mathbb {Z} }} heißt `*ARCH(p)-Zeitreihe`*, wenn sie rekursiv definiert ist durch`:cite-ref-kreiss-1-0[`F5bf`_`[1`#cite-note-kreiss-1]`_`f]

x t = σ σ t ϵ ϵ t σ σ t 2 = a 0 + a 1 x t − − 1 2 + ⋯ ⋯ + a p x t − − p 2 , {\\displaystyle {\\begin{aligned}x_{t}&=\\sigma _{t}\\epsilon _{t}\\\\\\sigma _{t}^{2}&=a_{0}+a_{1}x_{t-1}^{2}+\\dotsb +a_{p}x_{t-p}^{2},\\end{aligned}}}

wobei a 0 , … … , a p {\\displaystyle a_{0},\\dotsc ,a_{p}} mit a p ≠ ≠ 0 {\\displaystyle a_{p}\\neq 0} reelle, nichtnegative Parameter sind, und der Prozess ( ϵ ϵ t ) t ∈ ∈ Z {\\displaystyle (\\epsilon _{t})_{t\\in \\mathbb {Z} }} aus `F33f`_`[unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Unabhängig_identisch_verteilte_Zufallsvariablen]`_`f mit E ⁡ ⁡ ( ϵ ϵ t ) = 0 {\\displaystyle \\operatorname {E} (\\epsilon _{t})=0} und Var ⁡ ⁡ ( ϵ ϵ t ) = 1 {\\displaystyle \\operatorname {Var} (\\epsilon _{t})=1} besteht.

>>Eigenschaften

Für ARCH-Modelle gelten unter der Zusatzbedingung, dass σ σ t {\\displaystyle \\sigma _{t}} für alle t ∈ ∈ Z {\\displaystyle t\\in \\mathbb {Z} } bezüglich der durch ( ϵ ϵ s ) s ≤ ≤ t − − 1 {\\displaystyle (\\epsilon _{s})_{s\\leq t-1}} erzeugten σ-Algebra `F33f`_`[messbar`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Messbare_Funktion]`_`f ist, die folgenden Aussagen:`:cite-ref-kreiss-1-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-kreiss-1]`_`f]`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f]

• Die auf die Vergangenheit `F33f`_`[bedingten Erwartungswerte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bedingter_Erwartungswert]`_`f und `F33f`_`[bedingten Varianzen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bedingte_Varianz]`_`f sind:

E ⁡ ⁡ ( x t ∣ ∣ x t − − 1 , x t − − 2 , … … ) = 0 {\\displaystyle \\operatorname {E} (x_{t}\\mid x_{t-1},x_{t-2},\\dotsc )=0} und Var ⁡ ⁡ ( x t ∣ ∣ x t − − 1 , x t − − 2 , … … ) = σ σ t 2 {\\displaystyle \\operatorname {Var} (x_{t}\\mid x_{t-1},x_{t-2},\\dotsc )=\\sigma _{t}^{2}} .

• Eine ARCH(`*p`*)-Zeitreihe ( x t ) {\\displaystyle (x_{t})} ist genau dann `F33f`_`[(schwach) stationär`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stationärer_stochastischer_Prozess]`_`f, wenn alle Nullstellen des `*charakteristischen Polynoms`*

P ( z ) = 1 − − a 1 z − − ⋯ ⋯ − − a p z p {\\displaystyle P(z)=1-a_{1}z-\\dotsb -a_{p}z^{p}}

außerhalb des `F33f`_`[komplexen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komplexe_Zahl]`_`f Einheitskreises liegen.

• Eine stationäre ARCH(`*p`*)-Zeitreihe hat den stationären Erwartungswert E ⁡ ⁡ ( x t ) = 0 {\\displaystyle \\operatorname {E} (x_{t})=0} und ihre `F33f`_`[Autokorrelation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Autokorrelation]`_`f verschwindet: Cov ⁡ ⁡ ( x t , x t + h ) = 0 {\\displaystyle \\operatorname {Cov} (x_{t},x_{t+h})=0} für h > 0 {\\displaystyle h>0} . Für ihre stationäre Varianz gilt die Formel

Var ⁡ ⁡ ( x t ) = a 0 1 − − ∑ ∑ k = 1 p a k {\\displaystyle \\operatorname {Var} (x_{t})={\\frac {a_{0}}{1-\\sum _{k=1}^{p}a_{k}}}} .

• Ist ( x t ) {\\displaystyle (x_{t})} eine stationäre ARCH(`*p`*)-Zeitreihe, für die E ⁡ ⁡ ( x t 4 ) < ∞ ∞ {\\displaystyle \\operatorname {E} (x_{t}^{4})<\\infty } gilt, dann ist der quadrierte Prozess ( x t 2 ) {\\displaystyle (x_{t}^{2})} eine `F33f`_`[AR-Zeitreihe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=ARMA-Modell]`_`f.

>>Verallgemeinerungen

Die Idee des ARCH-Modells wurde in verschiedener Weise weiterentwickelt und gehört heute ganz selbstverständlich zu den fortgeschrittenen Methoden der `F33f`_`[Ökonometrie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ökonometrie]`_`f.

Eine Verallgemeinerung sind die `F33f`_`[GARCH-Modelle`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=GARCH-Modelle]`_`f (`*`!g`!eneralized `!a`!uto`!r`!egressive `!c`!onditional `!h`!eteroscedasticity`*), die 1986 von `F33f`_`[Tim Bollerslev`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tim_Bollerslev]`_`f entwickelt wurden. Hierbei hängt die bedingte `F33f`_`[Varianz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Varianz_(Stochastik)]`_`f nicht nur von der Historie der Zeitreihe ab, sondern auch von ihrer eigenen Vergangenheit. Zeitstetige Analoga, sogenannte `F33f`_`[COGARCH-Modelle`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=GARCH-Modell]`_`f (`*`!co`!ntinuous-time `!GARCH`!`*), wurden von Feike C. `F33f`_`[Drost`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Drost]`_`f und Bas J. C. Werker sowie `F33f`_`[Claudia Klüppelberg`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Claudia_Klüppelberg]`_`f, Alexander Lindner und Ross Maller vorgestellt.

>>Literatur

• Robert F. Engle: `*Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK. Inflation.`* In: `*Econometrica.`* Vol.: 50, pp. 987–1008, 1982. `F33f`_`[JSTOR`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=JSTOR]`_`f:1912773

• Tim Bollerslev: `*Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.`* In: `*Journal of Econometrics.`* Vol.: 31 No.: 3, pp. 307–327, 1986. `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1016/0304-4076(86)90063-1

• Jürgen Franke, `F33f`_`[Wolfgang Härdle`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wolfgang_Härdle]`_`f, Christian Matthias Hafner: `*Statistics of Financial Markets: An Introduction.`* 3. Auflage Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2011, ISBN 978-3-642-16520-7, Kapitel 13, S. 283–342.

• Christian Gouriéroux: `*ARCH Models and Financial Applications.`* Springer, New York 1997, ISBN 0-387-94876-7.

• Feike C. Drost, F.C., Bas J. C. Werker: `*Closing the GARCH gap: continuous GARCH modelling.`* In: `*Journal of Econometrics.`* Vol.: 74, No.: 1, pp. 31–57, 1996. `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1016/0304-4076(95)01750-X

• Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner, Ross Maller: `*A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: Stationarity and second-order behaviour.`* In: `*Journal of Applied Probability.`* Vol.: 41 No.: 3, pp. 601–622, 2004. `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1239/jap/1091543413 `F33f`_`[JSTOR`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=JSTOR]`_`f:4141341

• Evdokia Xekalaki, Stavros Degiannakis: `*ARCH Models for Financial Applications.`* Wiley, New York 2010, ISBN 978-0-470-06630-0.

>>Einzelnachweise

`:cite-note-kreiss-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-kreiss-1-0]`_`f Jens-Peter Kreiß, Georg Neuhaus: `*Einführung in die Zeitreihenanalyse.`* Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 3-540-25628-8, S. 298f.

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f `F33f`_`[Rainer Schlittgen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Rainer_Schlittgen]`_`f, Bernd H. J. Streitberg: `*Zeitreihenanalyse.`* 9. Auflage. Oldenbourg Verlag, München/Wien 2001, ISBN 3-486-25725-0, S. 450 f.

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